MATEMATICA E .... LA SUA PRIMA CRISI

PITAGORA di Samo (580-504 a.C.) fondò a Crotone (allora Magna Grecia, oggi Calabria) la sua scuola religiosa, politica, filosofica e scientifica: LA SCUOLA PITAGORICA.

I numeri, per i Pitagorici, sono l'essenza della realtà.
..... Avendo poi riconosciuto che le proprietà e le relazioni delle armonie musicali corrispondono a rapporti numerici, e che in altri fenomeni naturali si riscontrano analoghe corrispondenze coi numeri, furono tanto più indotti ad ammettere che i numeri siano gli elementi di tutte le cose esistenti e che tutto il cielo sia proporzione ed armonia ...... i Pitagorici compongono tutto il cielo con i numeri, però non di numeri in senso puramente aritmetico, ma assumono le monadi come aventi grandezza
da uno scritto di Aristotele

LA CRISI

Monadi e ..

Teorema di Pitagora

Le monadi, o unità pitagoriche, sono interpretabili come corpuscoli tutti uguali fra loro, molto piccoli ma non nulli. Tutti i corpi venivano considerati come composti di monadi disposte secondo un certo ordine geometrico. Il rapporto fra due grandezze risulta quindi sempre uguale al rapporto dei due numeri interi di monadi dalle quali sono costituite. In particolare due segmenti, interpretabili come file di monadi, uno costituito da m e l'altro da n monadi, avranno come rapporto m/n.

Del teorema oggi noto come Teorema di Pitagora (di cui peraltro erano noti in Cina ed in India, in epoca antichissima, casi particolari) Pitagora, anzi la scuola pitagorica, ebbe il grande merito di darne una dimostrazione. Dall'esigenza di dimostrare il teorema che fu poi detto di Pitagora sono nate le prime proposizioni geometriche razionalmente dedotte a partire da pochi principi evidenti. È questo nella storia della matematica il primo esempio noto di teoria deduttiva.

I Pitagorici stessi dimostrarono che la concezione monadica e i principi da cui si deduce il teorema di Pitagora danno luogo ad una contraddizione.

II ragionamento compiuto dai Pitagorici è il seguente:
Dato un quadrato ABCD, supponiamo, secondo la teoria monadica, che esista un segmento sottomultiplo sia di AB che di AC.
Questo sottomultiplo entrerà m volte in AC ed n volte in AB, dove i numeri m ed n potranno pensarsi primi fra loro (eventualmente riducendo la frazione m/n ai minimi termini).
Ora, per il teorema di Pitagora, il quadrato di lato AC è doppio del quadrato di lato AB, ed essendo m² il numero dei quadratini contenuti nel quadrato di lato AC, ed n² il numero dei quadratini contenuti nel quadrato di lato AB, si avrà:
AC²=AB²+BC² segue che
AC²=2 AB² quindi
mn² = 2 n²
Da ciò segue che m², e quindi m, è un numero pari.
Di conseguenza, essendo m ed n primi fra loro, (avendo ridotto la frazione m/n ai minimi termini) n sarà dispari.
Ma se m è pari possiamo porre m = 2 m₁ e sostituendo nella precedente uguaglianza avremo
(2m₁)² = 2 n²
cioè 4 m₁² = 2 n²
Quindi divedendo per 2 otteniamo 2 m₁² = n²
e risulta che n², e quindi n, è pari, in contraddizione con quanto si era precedentemente stabilito.

Questo ragionamento dimostra che non è possibile che il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato del medesimo dia un numero razionale (frazione) ed è uno dei primi esempi di dimostrazione per assurdo.

Il risultato così ottenuto fu considerato un duro colpo per la primitiva Scuola Pitagorica:
il mondo retto dal numero intero nei suoi diversi aspetti geometrici, astronomici, musicali e persino morali, sprofondava paurosamente nel caos. . .
(se era vero il teorema di Pitagora la teoria delle monadi non valeva ...)

I Pitagorici tentarono dapprima di non lasciare trapelare al di fuori della cerchia della Scuola il terribile segreto.....!
Ma qualcuno di loro parlò.. (sembra che si trattasse di IPPASO da Metaponto che, per punizione divina, secondo i suoi ex ... colleghi, peri in un naufragio).